Essence De L'Algèbre Linéaire

1 Tableau de correspondance anglais-chinois

English	中文
cross production	叉积
determinantion	行列式
eigenvalue	特征值

2 Vecteur

L’introduction des nombres comme coordonnées est un acte de violence.

ET d’un autre côté, cela donne aux gens un langage pour décrire l’espace et la manipulation de l’espace en utilisant des nombres qui peuvent être traités et exécutés par un ordinateur. 暴论：线代让程序员可以操纵空间。

$i$ et $j$ sont des vecteurs de base (basis vector), tout vecteur peut être considéré comme leur combinaison linéaire.

Les vecteurs colinéaires sont linéairement dépendants (Linearly dependent), l’espace engendré est une ligne (ou l’origine) ; Les vecteurs non colinéaires sont linéairement indépendants (Linearly independent), l’espace engendré est l’ensemble de tous les vecteurs ;

3 Matrice

une sorte de transformation linéaire

Heureusement que l’algèbre linéaire ne concerne que les transformations linéaires ;

Une matrice peut être comprise comme une transformation ; ac représente la position après une transformation de base, bd aussi, donc 1001 équivaut à aucune transformation ; Connaître comment la base se transforme permet de savoir comment tous les vecteurs se transforment ; Une transformation orthogonale est une transformation où les vecteurs de base conservent leur longueur et restent orthogonaux entre eux (mouvement rigide) ;

4 Multiplication de matrices

Une seule matrice est une transformation linéaire, donc la multiplication de matrices est une transformation composée. Le sens de la multiplication de matrices est d’appliquer deux transformations linéaires successivement (appliquer une transformation puis une autre) Une matrice non carrée représente une transformation inter-dimensionnelle ;

5 Déterminant

C’est le déterminant ! 👆 Une petite grille 1x1, la surface après transformation par la matrice est égale à la valeur du déterminant correspondant.

Si le déterminant est 0, tout est aplati, c’est une transformation non réversible, la matrice est également non réversible. La valeur du déterminant peut être négative, votre surface peut-elle aussi être négative ? La surface est égale à la valeur absolue, un nombre négatif indique que l’orientation de l’espace a changé (une feuille de papier a été retournée) ;

Cependant, la surface ne peut pas tout expliquer, en dimensions supérieures, c’est autre chose ;

6 Matrices inverses & Espace colonne & Rang

Une matrice ne sert pas seulement à manipuler l’espace, elle peut aussi être utilisée pour résoudre des systèmes d’équations.

Convertir un système d’équations en multiplication de matrices revient naturellement à l’art traditionnel de manipuler l’espace ; $\vec{x}$ est transformé en $\vec{v}$ sous l’action de la matrice $A$, alors utiliser la transformation inverse $A^{-1}$ pour retrouver $\vec{x}$ est le processus de résolution du système d’équations ; Lorsque le déterminant n’est pas nul, calculer la matrice inverse permet de résoudre le système d’équations ;

Lorsque le déterminant est nul, le système d’équations peut encore avoir une solution, à condition que $\vec{v}$ survive dans l’espace comprimé (espace colonne) ;

Pour une explication du rang, vidéo autour de 8 minutes, c’est vraiment brillant. Le rang représente la dimension de l’espace (colonne) transformé ; (dans un système d’équations, le rang de la matrice est exactement le nombre de conditions de contrainte) L’ensemble de tous les $A\vec{v}$ possibles est l’espace colonne ; L’ensemble des vecteurs qui tombent sur l’origine après transformation est l’espace nul ou le noyau ; Méthode du noyau dans SVM ?

7 Dualité du produit scalaire

La compréhension traditionnelle du produit scalaire de vecteurs est la projection, mais pour comprendre la dualité, oubliez cela. La dualité fait référence à une correspondance naturelle mais inattendue. Un vecteur est l’incarnation physique d’une transformation linéaire. Comprendre la dualité est crucial pour comprendre l’espace de Hilbert, PCA, IDA.

Il existe une relation étrange entre un vecteur et la matrice 1×n correspondante, la transformation représentée par la matrice 1×n est équivalente à faire un produit scalaire avec le vecteur n×1 ; chaque vecteur est l’incarnation d’une matrice ; chaque matrice correspond à un vecteur ;

8 Produit vectoriel

L’explication traditionnelle comme sur l’image ci-dessus

9 Changement de base

Comment deux personnes dans des systèmes de coordonnées différents peuvent-elles communiquer ? En plaçant les vecteurs de base de l’autre dans son propre système de coordonnées, on obtient la matrice de transformation.

Pour un vecteur $\vec{v}$ dans un autre système de coordonnées, utilisez d’abord une transformation (à gauche) pour le convertir en un vecteur dans notre propre système de coordonnées, puis effectuez la transformation dans notre propre système de coordonnées (au centre), enfin convertissez le résultat de la transformation dans son système de coordonnées (à droite) ; L’expression $A^{-1}MA$ représente une sorte de transfert, le produit de telles matrices est toujours une transformation, c’est pour les autres.

10 Vecteurs propres & Valeurs propres

Application : le vecteur propre avec une valeur propre de 1 est l’axe de rotation Calcul : $A\vec{v}=\lambda \vec{v}$, après réarrangement, c’est-à-dire $det(A-\lambda I)=0$, c’est-à-dire trouver un vecteur qui peut compresser l’espace Les vecteurs propres de la transformation de rotation sont dans l’espace vectoriel complexe, la transformation de cisaillement n’a qu’un seul vecteur propre ; Il existe également des cas où la valeur propre est unique et les vecteurs propres ne sont pas colinéaires (comme étirer tous les vecteurs deux fois)

Pour une matrice diagonale, tous les vecteurs de base sont des vecteurs propres, et les valeurs sur la diagonale sont les valeurs propres correspondantes

Si un jour, vous souhaitez utiliser deux vecteurs propres non colinéaires [1 0] [0 1] comme nouvelle base de système de coordonnées, ce processus de changement de base est la diagonalisation similaire ; la matrice obtenue sera nécessairement une matrice diagonale, et les valeurs seront les valeurs propres. De tels vecteurs propres sont également appelés base propre (eigenbasis) ; Pourquoi faire tout ce travail pour effectuer un changement de base propre ? Par exemple, la matrice $\begin{bmatrix}3 &1 \ 0 & 2\end{bmatrix}$ ci-dessus, calculer 100 fois une telle transformation serait très complexe, après transformation, vous pouvez obtenir rapidement le résultat $\begin{bmatrix}3^{100} &1 \ 0 & 2^{100}\end{bmatrix}$, puis revenir en arrière.

11 Espaces vectoriels

Les déterminants, vecteurs propres, etc. sont indépendants du système de coordonnées choisi… La dérivation des fonctions peut également être effectuée par des matrices… Alors, qu’est-ce qu’un vecteur vraiment ?

Un vecteur n’est pas une chose. Les axiomes ne sont pas des lois naturelles, ce sont des règles définies par les mathématiciens, reliant les mathématiciens et les utilisateurs d’outils mathématiques ; un vecteur peut être n’importe quoi, un point, une flèche, une fonction, une créature étrange…, tant qu’ils satisfont aux règles définies par ces axiomes. Demander ce qu’est un vecteur revient à demander ce qu’est “1”, ce qui n’a pas de sens.

12 Règle de Cramer

Pour calculer un déterminant, l’ordinateur utilise la règle de Cramer, les humains utilisent l’élimination de Gauss ; mais la règle de Cramer est bien plus intéressante.

Une méthode unique pour représenter les coordonnées : y = surface/1 , x = surface / 1;

Ainsi, le y transformé reste la surface du quadrilatère avec la base verte, ce qui correspond exactement à la signification géométrique du déterminant ; À ce moment-là, la surface du quadrilatère, la base verte reste inchangée (première colonne du déterminant), la hauteur devient 42 après transformation. C’est la signification géométrique de la règle de Cramer.